数学家的故事

高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick
，位于现在德国中北部
。他的祖父是农民，父亲是泥水匠 ，母亲是一个石匠的女儿
，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅 ，对小高斯很照顾
，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」 ，认为只有力气能挣钱
，学问这种劳什子对穷人是没有用的。

高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误 。七岁时进了小学 ，在破旧的教室里上课
，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇
。高斯十岁时 ，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华
，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时 ，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟
，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授 ，他教了高斯更多更深的数学 。

老师和助教去拜访高斯的父亲
，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样 ，作个泥水匠
，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人 ，虽然他们不知道要到哪里找
。经过这次的访问
，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学 ，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。

1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校 。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课
，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上
。

1791年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他 ，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年
，高斯进入Braunschweig学院 。这年，高斯十五岁
。在那里 ，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式
、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem) 、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean) 。

1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学
，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年 ，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果
。最为人所知
，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。

希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形 ，其中 m 是正整数
，而 n 和 p 只能是0或1 。但是对于正七
、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道
。而高斯证明了：

一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：

1 、n = 2k ，k = 2, 3,…

2
、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,…

费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3
，F1 = 5，F2 = 17 ，F3 = 257
， F4 = 65537，都是质数 。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题 ，他也视此为生平得意之作
，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形 ，而是十七角星
，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了 ，大家一定分辨不出来
。

1799年高斯提出了他的博士论文
，这论文证明了代数一个重要的定理：

任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra) 。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的
。高斯把前人证明的缺失一一指出来 ，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

在1801年
，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，这本书以拉丁文写成 ，原来有八章
，由于钱不够，只好印七章 。

这本书除了第七章介绍代数基本定理外 ，其余都是数论
，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念
。「二次互逆定理」也在其中。

二十四岁开始 ，高斯放弃在纯数学的研究
，作了几年天文学的研究 。

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年 ，意大利的天文学家Piazzi
，发现在火星和木星间有一颗新星
。它被命名为「谷神星」(Cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休 ，有人说这是行星，有人说这是彗星 。必须继续观察才能判决
，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来 ，它便隐身到太阳后面去了
。因此无法知道它的轨道
，也无法判定它是行星或彗星。

高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题 。高斯自己独创了只要三次观察 ，就可以来计算星球轨道的方法
。他可以极准确地预测行星的位置。果然
，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现 。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是「最小平方法」 (Method of Least Square)
。

1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星(Pallas)的位置 ，这时他的声名远播
，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员 ，发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任
，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。

1809年他写了《天体运动理论》二册 ，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道 。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前
，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止
。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程 ，他考虑无穷级数
，并研究级数的收敛问题，在1812年 ，他研究了超几何级数(Hypergeometric Series)
，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院 。

1820到1830年间 ，高斯为了测绘汗诺华(Hanover)公国（高斯住的地方）的地图
，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书 ，由于测地上的需要
，他发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究
。

1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva) ，涵盖一部分现在大学念的「微分几何」。

在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家－韦伯(Withelm Weber)一起从事磁的研究
，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论 ，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣
，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法 。

1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线 ，跨过许多人家的屋顶
，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源 ，构造了世界第一个电报机
。

1835年高斯在天文台里设立磁观测站
，并且组织「磁协会」发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。

高斯已经得到了地磁的准确理 ，他为了要获得实验数据的证明
，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表 。

1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置
。 1841年美国科学家证实了高斯的理论 ，找到了磁南极和磁北极的确实位置。

高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果 。他自己曾说：「宁可发表少
，但发表的东西是成熟的成果
。」许多当代的数学家要求他，不要太认真 ，把结果写出来发表
，这对数学的发展是很有帮助的。　其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展 。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯 、 Lobatchevsky（罗巴切乌斯基 ，1793～1856）
， Bolyai（波埃伊，1802～1860）
。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学 ，他曾想试着证明平行公理
，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小Bolyai还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何 ，并且在1832～1833年发表了研究结果
，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：

to praise it would mean to praise myself.我无法夸赞他 ，因为夸赞他就等于夸奖我自己 。

早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果
，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。

美国的着名数学家贝尔(E.T.Bell)，在他着的《数学工作者》(Men of Mathematics) 一书里曾经这样批评高斯：

在高斯死后 ，人们才知道他早就预见一些十九世的数学
，而且在1800年之前已经期待它们的出现
。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅可比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作 ，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西 。而那些非欧几何学的创造者
，可以把他们的天才用到其他力面去
。

在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。

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数学的起源手抄报内容

八岁的高斯发现了数学定理

德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭 。高斯在还不会讲话就自己学计算 ，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时
，还纠正父亲计算的错误
。

长大后他成为当代最杰出的天文学家
、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名 。数学家们则称呼他为“数学王子
”
。

他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人 ，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书
，真是大材小用 。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真 ，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣
。

这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔
，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了 。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭
。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3 ，3加3等于6
，6加4等于10…… ”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去 ，数越来越大
，很不好算 。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来
。

还不到半个小时 ，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师
，答案是不是这样？
”

老师头也不抬，挥着那肥厚的手 ，说：“去
，回去再算！错了 。”他想不可能这么快就会有答案了
。

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。 ”

数学老师本来想怒吼起来 ，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来
，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050 ，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法
，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法 。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的
。他以后也认真教起书来 ，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下
，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了 。

数学手抄报内容：函数小史

趣味数学知识

1 、 两个男孩各骑一辆自行车，从相距2o英里（1英里合1.6093千米）的两个地方 ，开始沿直线相向骑行
。在他们起步的那一瞬间
，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把 ，就立即转向往回飞行 。这只苍蝇如此往返
，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1o英里的等速前进 ，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么
，苍蝇总共飞行了多少英里？

答案

每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2o英里距离的中点
。苍蝇飞行的速度是每小时15英里 ，因此在1小时中
，它总共飞行了15英里。

许多人试图用复杂的方法求解这道题目 。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程 ，依此类推
，算出那些越来越短的路程
。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说 ，在一次鸡尾酒会上
，有人向约翰·冯·诺伊曼（john von neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一 。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案
。提问者显得有点沮丧 ，他解释说
，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。

冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色 。“可是 ，我用的是无穷级数求和的方法.
”他解释道
。

高斯

高斯是德国数学家
、物理学家和天文学家。

高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇
，而且决心弄个水落石出 。7岁那年，高斯第一次上学了
。

在全世界广为流传的一则故事说 ，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题
，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。说完高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去，当时只有他写的答案是正确的 。数学史家们倾向于认为 ，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子
，能独立发现这一数学方法实属很不平常
。

高斯的学术地位，历来被人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王 ”的美称 。

数学故事

一天 ，唐僧命徒弟悟空 、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子
。不长时间
，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：“你们每人各摘回多少个桃子？
”

八戒憨笑着说：“师父，我来考考你 。我们每人摘的一样多 ，我筐里的桃子不到100个
，如果3个3个地数，数到最后还剩1个
。你们算算 ，我们每人摘了多少个？”

沙僧神秘地说：“师父，我也来考考你。我筐里的桃子
，如果4个4个地数，数到最后还剩1个 。你算算 ，我们每人摘了多少个？ ”

悟空笑眯眯地说：“师父
，我也来考考你
。我筐里的桃子，如果5个5个地数 ，数到最后还剩1个。你算算
，我们每人摘了多少个？

唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数 。你知道他们每人摘了多少个桃子吗？

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展 ，对数学发展起着不可估量的作用.有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用.我们刚学过的函数就是这样的重要概念.在笛卡尔引入变量以后
，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域.纵览宇宙，运算天体 ，探索热的传导
，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关.正是在这些实践过程中 ，人们对函数的概念不断深化.

　回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说
，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识
、激发学习兴趣将是有益的.

　最早提出函数(function)概念的 ，是17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布尼茨用?函数?一词表示幂
，如

都叫函数.以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.1718年 ，莱布尼茨的学生 、瑞士数学家贝努利把函数定义为：?由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.?意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数.贝努利所强调的是函数要用公式来表示.

　后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上.只要一些变量变化
，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示 ，就不作为判别函数的标准.

　1755年
，瑞士数学家欧拉把函数定义为：?如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量 ，即当后面这些变量变化时
，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.?在欧拉的定义中 ，就不强调函数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数.他认为：?函数是随意画出的一条曲线.?

　当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯
，有的数学家甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫?真函数?，把不能用公式表示的函数叫?假函数?.1821年 ，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：?在某些变数间存在着一定的关系
，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时 ，则将最初的变数叫自变量
，其他各变数叫做函数.?在柯西的定义中，首先出现了自变量一词.

　1834年 ，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：?x的函数是这样的一个数
，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出 ，也可以由一个条件给出
，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的.?这个定义指出了对应关系(条件)的必要性 ，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值.

　1837年
，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：?如果对于x的每一个值 ，y总有一个完全确定的值与之对应
，则y是x的函数.?这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数 ，只需有一个法则存在
，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了 ，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.这个定义比前面的定义带有普遍性
，为理论研究和实际应用提供了方便.因此，这个定义曾被比较长期的使用着.

　自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后 ，用集合对应关系来定义函数概念就是现在中学课本里用的了.

　中文数学书上使用的?函数?一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1895年)一书时
，把?function?译成?函数?的.中国古代?函?字与?含?字通用，都有着?包含?的意思.李善兰给出的定义是：?凡式中含天 ，为天之函数.?中国古代用天
、地、人 、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：?凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.?所以?函数?是指公式里含有变量的意思.

　在可预见的未来
，关于函数的争论
、研究、发展 、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展.