同学们好！今天的讲座 ，我代表高一数学备课组全体老师
，和同学们交流 、讨论高中数学的学习，希望对同学们今后的数学学习有所帮助。

我来讲座时 ，我的爱人告诉我：“要让学生学好数学
，就应当使学生喜欢数学
、欣赏数学、亲近数学，要让学生感到数学学习的快乐 。”我希望今天的讲座能给同学们带来一点快乐
。

一 、什么是数学

1
、伟大的革命导师恩格斯说：“数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门科学。 ”恩格斯是与马克思齐名的世界人民革命的导师 ，但数学为恩格斯的伟大增添了无限的光辉 。

数学是什么？这是数学家仍不断思索的问题，数学家的语言是朴实的
，听一听数学以外的声音吧：

音乐家说：“数学是世界上最和谐的音符
。
”

体育老师说：“数学是锻炼人的思维的体操。”

植物学家说：“世界上没有比数学更美的花朵 。 ”

美学家说：“哪里有数学，哪里才有真正的美。
”

诗人说：“离开了数学的思维 ，任何一首诗篇都是胡言
。”

再听一听哲学家的心声吧：“或许你可以不相信上帝
，但是你必需相信数学，世界什么都在变 ，唯有数学的理论是永恒的。 ”

2、世界各民族都有自己的语言
，有些语言为多个民族所共用，在地球上 ，没有一种语言能统一地球
，但是，数学语言已成为世界各民族的共用 。

数学语言是一种科学的语言 ，她使人表达问题时条理清楚 、准确、简洁
、结构分明
。

3、数学对现代社会产生了最深远的影响
，人们可能会讲，计算机的发明才有划时代的意义 ，其实，同学们还不知道
，计算机的发现者正是数学家冯·诺伊漫。

而计算机更高层次的运用还得靠数学，数学就是这样 ，朴素得从不张扬自己
，默默为人类奉献着 。

是金子总会发光，现代社会 ，人们普遍认识到数学是一种文化素养
，没有现代数学就没有现代化，没有现代数学的文化是注定要衰落的
。

八十年代 ，美国总统曾签署一道法令
，号召“美国公民全民族提高数学素养。”引起世界的震惊 。事情的起因是这样的，美国国家统计局调查发现 ，八十年代美国的国家科技发展缓慢
，追根求源，在于对数学的重视不够
。

前不久 ，美国总统奥巴马在国情咨文中又强调这一法令。

现在，全世界都有了这样的共识：“国家的富强在教育
，教育的根本在科技，科学的根本是数学 。
”高科技本质上是数学技术
。

4 、数学成为自然科学的基础 ，这是物理学家
、化学家、生物学家成功发后自内心的感受。马克思说：“一门科学只有成功的运用了数学
，才能达到完善的地步 。”

5 、在社会经济领域，人们统计发现：在诺贝尔经济学奖的获奖者中 ，大部分是数学家
，或者有研究数学的经历，为什么呢？是数学教会了人们如何思考 ，是数学教会了人们如何创新
，这就是数学，一门改变和推动了世界的学科。

二
、为什么学数学

1、数学是很有趣的 ，深入到数学的世界就是这样

(1)邻居家的两个小孩争大小：邻居家的两个小孩刚上小学
，有一天，我问他们俩谁是老一 ，谁是老二，他们如实做了回答
，我又问他们1和2谁大，他们也都答对了 ，当我再问他俩谁大时
，他们俩争论起来“我是老一，我大
。 ”“我是老二 ，二比一大
，所以我大。
”

争得不可开交，当我告诉他们学好数学就知道答案了 ，他们带着凝惑离开了 。

(2)鬼巫人的故事：过去在农村
，经常有人讲这样的经历：“在一个伸手不见五指的夜晚，某人从一个村庄到邻近的另一个村庄 ，走了一夜没有到达
，天亮时发现自己在一块坟地里打转转了一夜
。”这在农村被叫做鬼巫人，是很恐怖的事 ，但学习了圆的知识，你就很容易知道真正的答案。

2 、数学是很有用的：一些家长告诉孩子
，学不好数学上街会受骗，这是生活的基本要求 。这个问题的另一个说法是：“学好了数学就不被人骗或去骗人
。 ”

人们完全不用担心 ，数学学得好的人
，完全进入了一个高层次的境界，摆脱了世俗的观念 ，更追求数学的高尚和完美。

前几年
，中国的社会腐败成为严重的社会问题，国家虽然采取了一些措施 ，总不能彻底得以解决
，有人就提出在党员干部中普及数学知识，提高干部的数学素养 ，这样可以有效防止腐败 。

其实就是学数学的人
，追求高尚和完美，同时通过数学算一算 ，腐败的代价是惨重的
。

3
、青年人都爱打扮自己，你知道怎样根据自己的身材和性格打扮自己吗？数学就可以告诉你。

身材细高像豆芽的
，要把自己装扮得强壮些，就应穿横条的衣服 。

身材胖一些的 ，要把自己装扮瘦高些
，就应穿竖条状的衣服
。

想表现青春活泼的，可以穿斜波纹的衣服 ，真的给人动感地带的感觉。

4、放眼世界来看
，第一次世界大战是化学战，第二次世界大战是物理战 ，而现代战争则是数学战 。

5 、华罗庚说：“宇宙之大
，粒子之微，火箭之速 ，化工之巧
，地球之变，生物之谜 ，日用之繁等，无处不有数学的重要贡献
，甚至有些问题数学方法是唯一的出路。
”

三
、怎样学好高中数学

1、从初中到高中的变化

进入高中后，同学们的成绩会发生很大的变化 ，每一届学生都是这样
，对此，我们学校领导非常重视 ，在同学军训期间进行了一次摸底考试
，还没上高中课，结果与中考成绩就形成很大的反差 ，有前100名成绩的学生退到800名以外
，也有1000名以外的学生进入了年级前100名
。

学校在积极探索这种原因，一是同学经过紧张的中考 ，考取了理想的一中
，有些同学产生了松口气的想法，对初中的知识不复习巩固 ，产生了遗忘；

二是中考的试卷是水平考试，分数不能完全代表智力水平
，尤其是中考数学试卷，非常容易 ，中等生也有考满分的。

高一上了一段时间后
，成绩的分化就突出出来，有一部分学生中考成绩优秀 ，成绩下降严重
，甚至学生和家长产生这样的困惑：“在初中怎样的好，现在怎么了？”

这种现象不仅我们学校有 ，全国的中学
，包括国家级重点中学都是普遍存在的 。

究其根源是初中 、高中的反差较大，下面我们做一个初中、高中的对比：

(1)知识的差异：

初中：内容少
、浅、面窄 ，常量 、题型少
、简单
，可反复磨炼，甚至死记硬背就可以考出高分
。

高中：知识多、深 、面宽；变量
、题多 ，没有时间反复。

(2)教学方法差异：

初中：课堂容量小，讲速慢
，例型少，反复 ，模仿 。

高中：课堂容量大
，知识复杂，速度快 ，题型多
，很少反复
。

(3)学法差异：

初中：自学能力差，讲授 ，被动学
，反复练。

高中：自主探索，主动学习 ，获得知识的渠道宽 。

2、高中数学学习的技术和方法

当前阶段
，同学们要解决的是高中数学学习的技术和方法，以下是同学们值得重视的：

(1)从被动接受知识 ，转化为主动探索，积极适应高中数学老师的教学方法
。有人说得好
，当你不能改变环境时，就积极主动改变自己。

(2)从死记便背 、模仿 ，转化为对概念
、理论的深刻理解 。

(3)从单纯做题
，转移到归纳、提练数学思想 、方法，举一反三
。高中数学中含有丰富的数学思想和方法 ，是我们数学学习的指南。什么是思想
，思想就是想，什么是方法 ，方法就是落实想的做法 。比如一个人想过河
，思想就是想过河，方法就是怎样过河……

(4)课前预习 ，记下不懂的问题
，对记下的问题可研究
、讨论，听课解决 ，带着问题听课，目的明确
，增加注意力，提高听课的效果。

(5)做好数学笔记 ，记下课本上没有的
，老师对概念更深刻的理解，和为高考而增加和深化的课外知识以及一些重要结论
。

(6)多做数学 ，学好数学的有效途径就是“做数学 ”。

在比较初级的阶段
，就是在理解数学基本内容的基础上多做习题（这是必要的），包括独立地做一些较难而有启发性的题目 。

因为我们知道 ，习题只给了条件和结论
，甚至只给了条件和问题，那么解决问题的过程实际就是一个再创造的过程 ，而较难的习题常要经过一段时间的反复思考
，这种再创造过程自然可以培养创新能力，而一段时间的反复思考 ，则可以锻炼学生的坚持性，培养你们坚忍不拔
，百折不挠的精神
。

我国军事家、思想家叶剑英给学生写过一首诗：“攻城不怕坚，攻书莫畏难 ，科学有险阻
，苦战能过关。
”

但也要注意，问题应是“好”的问题 ，是对课程内容及思想方法的深入理解和掌握有帮助的问题
，是学习中自然产生的基本题 。问题应当有思考性，还可以有适当的开放性 ，而不是那种造作的偏 、怪题
。

现在的资料
，多为经济利益作想，不考虑循序渐近 ，难、偏
、怪很多
，这主要迎合部分学生追求偏难的想法，对概念的深刻理解不利。

数学的学习 ，应当在掌握基础知识、基本技能的基础上体会数学的基本思想，而掌握了数学思想方法和精神实质
，就可以由不多的几个公式 、理论，演绎出千变万化的生动结论 ，显示出无穷无尽的威力
，这正是数学中的以不变应万变 。

3
、打开解决问题的通道

我国数学家华罗庚说得好“问题是数学的心脏
。 ”心脏不停，才有美丽的生命 ，解决问题就成了学好数学的根本
，这也是同学们最关心的，有了问题怎样办 ，解决问题的途径有哪些（怎样让解决问题的渠道畅通）。

对数学学习中的问题
，我们可以为问题建立一个纠错档案，这对每一位同学来说 ，都是你学数学最宝贵的东西
，值得珍藏 。

怎样记录呢？一是把错题或问题分章别类记下来；二是记下错误的过程；三是对错误的根源进行寻找分析；四是给出正确的答案
。建立起来以后，可以常回家看看 ，要不怕麻烦，坚持下来就是胜利。

有的同学
，解决问题的路径很单一，造成大量的问题积压 ，最后就形成了顽症
，就难解决了 。

解决问题，要打开多条道路 ，使得解决问题的路畅通无阻。有个药品广告说得好：“通则不痛
，痛则不通
。
”

当前，我们有哪些解决问题的道路呢？

(1)自己独立钻研或查找资料 ，这样解决问题深刻
，同时也培养锻炼了学数学的能力。

(2)请教老师，由于课间时间短 ，老师解答问题的时间有限
，但是老师会通过几个同学提问，把共性的东西归纳出来讲解 ，这可能也有你的问题，要不耻下问（事例） 。

为了便于同学提问
，我现在设计有“学生数学问答纸”，同学们可以自由使用 ，这样解决问题的容量就大大增加了
。

(3)同学之间相互协助
，这是一条比较宽广的大道。同学们在一起的时间长，思维水平接近 ，易于沟通 。要积极利用好这一渠道
，就要建立良好的同学关系，互相协助
。

(4)积极开辟解决问题的新途径 ，只有想不到
，没有办不到。渠道通了，问题解决了 ，哪有不进步的道理呢？成绩只有属于你
，胜利只有属于你 。

人造就了数学，数学也必将造就一个新的你

马克思说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时 ，才算真正发展了
。 ”在前几次科技革命中，数学大都起到先导和支柱作用。

我们不能要求决策者本人一定要懂得很多数学
，但至少要经常想想工作中有没有数学问题需要请数学家来咨询 。

因为数学是科技创新的一种资源，是一种普遍适用的并赋予人以能力的技术
。

一、世界强国与数学强国

数学实力往往影响着国家实力 ，世界强国必然是数学强国。数学对于一个国家的发展至关重要
，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求 。17-19世纪英国 、法国，后来德国 ，都是欧洲大国
，也是数学强国。17世纪英国牛顿发明了微积分，用微积分研究了许多力学
、天体运动的问题 ，在数学上这是一场革命
，由此英国曾在数学上引领了潮流
。

法国本来就有良好的数学文化传统，一直保持数学强国的地位。19世纪德、法争雄 ，在数学上的竞争也非常激烈
，到了20世纪初德国哥廷根成为世界数学的中心 。

俄罗斯数学从19世纪开始崛起，到了20世纪前苏联时期成为世界数学强国之一
。特别是苏联于1958年成功发射了第一颗人造地球卫星 ，震撼了全世界。当时美国总统约翰?肯尼迪决心要在空间技术上赶超苏联 。他了解到：苏联成功发射卫星的原因之一，是苏联在与此相关的数学领域处于世界的领先地位
。此外
，苏联重视基础科学教育（包含数学教育）也是它在基础科学研究中具有雄厚实力的一个重要原因，于是下令大力发展数学。

第二次世界大战前美国只是一个新兴国家 ，在数学上还落后于欧洲
，但是今天他已经成为唯一的数学超级大国 。战前德国纳粹排犹，大批欧洲的犹太裔数学家被迫移居美国 ，大大增强了美国的数学实力
，为美国打胜二战 、提升战后的经济实力做出了巨大贡献
。苏联发射第一颗人造地球卫星后，美国加强了对数学研究和数学教育的投入 ，使得本来在科技界
、工商界、军事部门等方面就有良好应用数学基础的美国
，迅速成为一个数学强国。苏联 、东欧解体后，美国又吸纳了其中大批的优秀数学家 。

二
、数学及其基本特征

数学是一门“研究数量关系与空间形式”（即“数
”与“形”）的学科
。 一般地说 ，根据问题的来源把数学分为纯粹数学与应用数学。研究其自身提出的问题的（如哥德巴赫猜想等）是纯粹数学（又称基础数学）；研究来自现实世界中的数学问题的是应用数学 。利用建立数学“模型 ”
，使得数学研究的对象在“数
”与“形”的基础之上又有扩充。各种“关系 ”，如“语言
” “程序” “DNA排序 ” “选举
”、“动物行为” 等都能作为数学研究的对象
。数学成为一门形式科学。

纯粹数学与应用数学的界限有时也并不那么明显 。一方面由于纯粹数学中的许多对象 ，追根溯源是来自解决外部问题（如天文学 、力学、物理学等）时提出来的；另一方面，为了要研究从外部世界提出的数学问题（如分子运动
、网络、动力系统 、信息传输等）有时需要从更抽象
、更纯粹的角度来考察才有可能解决
。

数学的基本特征是：

一是高度的抽象性和严密的逻辑性。

二是应用的广泛性与描述的精确性 。

它是各门科学和技术的语言和工具
，数学的概念、公式和理论都已渗透在其他学科的教科书和研究文献中；许许多多数学方法都已被写成软件，有的数学软件作为商品在出售 ，有的则被制成芯片装置在几亿台电脑以及各种先进设备之中
，成为产品高科技含量的核心
。

三是研究对象的多样性与内部的统一性。

导读：

以前我写过一篇《女孩，你为什么学不好数学》的文章 ，谈到很多女孩子之所以学不好数学
，并不是天生缺乏学好数学的天分和能力，而是被一种“习得性无助 ”的思维限制住了学习数学的主动性与自信心 。

其实 ，不光是女孩子容易陷入“习得性无助
”思维中
，很多男生在进入中学后，因为中学数学与小学数学的教学特点发生了较大的改变 ，也会对数学产生一些恐惧心理
，渐渐放弃了对数学这门学科的深入探索精神
。

有句话叫：一步跟不上，步步跟不上。

如果错过了中学这段学习数学的黄金期 ，造成的结果就是：这些学生以后从事更高端的理工科和高科技工作的机会会很少 。

要知道，“数学”是几乎所有科学技术的基础学科
，或者说是掌握其他科学技术的基础工具或手段之一，不论你将来要从事工程建筑 、机械制造
、金融财政或是医学、管理 、通讯等领域的工作 ，都会应用到数学
。

著名数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大
，粒子之微，火箭之速 ，化工之巧
，地球之变，生物之谜 ，日用之繁
，无处不用数学。 ”

所以，学好数学的重要性显而易见 。

学好数学 ，不光是为了应付考试和以后的工作
，更大的意义是让你有更多的机会去理解我们所生存的宇宙世界。

有生之年，如果能领略到一些数学之美 ，也是一种幸福与幸运
。

如果说，小学是开启数学兴趣的关键阶段
，那么，中学则是学习数学的黄金时期。

中学生要在这一时期学好数学 ，除了在课堂上按部就班地跟着老师学习基础知识和技能外
，还应深入体会并掌握中学数学的五大特点，并有意识地去培养自己在数学方面的四项能力 。

下面就着重介绍一下“中学数学的五大特点”和“中学生应该培养的四项数学能力
”：

一
、中学数学的五大特点

1.抽象性

不管是哪一门学科 ，都具有“抽象性”的特点
，只是数学学科与其他学科比较起来，具有更高的抽象性
。

数学的抽象仅仅保留了“量 ”的关系而摒弃了所有“质
”的特点；数学的抽象仅仅保留了一定的形式和结构 ，而摒弃了其内容。

如何理解以上两句话呢？举个例子：

在数学家的眼里
，5块石头、5座大山 、5条毒蛇和5朵金花之间，并无任何区别 。数学家仅仅关心其中的数字“5”
。

又比如 ，几何中的“点 ”“线
”和“面”的定义
，代数中的“集合 ”
、“方程
”和“函数”等概念均为抽象思维的最终产物。

“点 ”被视为不分大小的东西，“线
”被视为可以无限地延长、没有宽也没有高的东西；“面”被视为可无限伸展的没有高的东西 。

事实上 ，理论意义上的“点 ” 、“线”和“面
”在现实生活中是没有的，只有充分地发挥自己的空间想象力
，才能完全理解
。这就是数学具有高度抽象性的体现。

2.逻辑性

数学的逻辑性很严密，任何一个数学结论 ，都应经过逻辑推理的证明才能被人们所承认 。

有不少数学结果
，不容易找到直观意义上的现实原型，通常是在较为理想的情况下完成研究工作的
。

比如 ，得出一元二次方程的求根公式、确定两条直线的位置关系
、得出无穷小量等等。还有
，数学推理和证明，数学运算和理论的正确性等 ，都不能像自然科学那样通过重复的实验进行检验
，而只能利用逻辑方法去实现 。

一般情况下，解决一些数学问题 ，既要遵从数学规律
，又要合乎相关逻辑，在逻辑上做到正确无误。

一个数学问题的解决 ，主要满足两方面的要求：一个要求是符合数学规律，另一个要求是合乎逻辑
。

所以
，在学习的时候，必须认真地理解数学概念 ，准确地应用数学知识
，进行严格的数学推导，只有这样 ，才能正确地对数学问题作出解答。

3.应用性

各门科学的“数学化”
，是如今科学发展的主要趋势 。

“高技术本质上是一种数学技术 ”的观点已经被大多数人认同，这一观点主要指出了高技术与现代数学问题之间存在的联系
。

比如计算机技术的发展 ，就离不开对现代数学的研究。

可以说
，数学已渗透到社会生活的每一个领域 。若没有数学这门课程，就不会有如今的科学技术和现在的社会文明
。

4.密度大

这里主要说一下高中数学与初中数学的密度差别。

高中数学教材的内容既繁多又复杂 ，相比初中数学的密度要大不少 。

初中老师通常会将知识剖开
，进行细细地讲解，同时通过大量的习题练习 ，让学生对所学知识进行巩固
。

而到了高中阶段，往往在新知识的开始就有了一定的难度
，特别强调知识的“以旧带新
”和“横向、纵向的沟通 、联系”。

也就是说，高中数学要求前知识的牢固性和贯通性 ，如果你初中数学底子打得不好
，势必会影响到高中数学的学习 。

很多学生上完一节课后，往往感觉好像听懂了 ，但一写作业就会觉得运用不熟练
，思路也缺乏通畅感，总觉得自己没有完全掌握新知识
。

这个时候一方面要多练习 ，另一方面可能还要回过头去补课
，把以前没掌握牢固的知识彻底明白地掌握了，才能顺利地学好高中数学。

5.独立性

初中知识具有较大的系统性 ，特别是平面几何
，这个系统常常会给学生的学习带来一些便利，它便于记忆 ，便于进行知识的提取，便于应用 。所以说
，平面几何的知识使人能久久地记住不忘，并且还能用得上。

然而 ，高中数学则不同
，除了立体几何和解析几何的系统明确，代数和三角的内容相对而言是独立的
。

因此 ，注意其内部的小系统和各系统之间的联系是学生需要花费精力的焦点
，否则，综合运用知识的能力就会较弱一些。

以上就是中学数学的五个特点 ，掌握好这五点
，可以帮你从心理
、思维和学习方法及技巧各个方面去突破自己的数学学习能力 。

接下来，如果再能培养以下其中数学能力 ，学好数学就不再是什么难事儿！

二、中学生应培养的四种数学能力

1 、空间想象能力

中学生的空间想象能力包括：能正确地认识空间图形的形状
、空间图形的大小和空间图形的位置关系；给出一种几何图形
，能够想象出特定空间的位置关系，并且在不方便作图的情况下 ，能确保想象几何体位置关系的正确性
。

2、逻辑思维能力

中学生的逻辑思维能力包括：能正确地理解各数学对象之间存在的逻辑关系；能通过概念和理论的形式严格地进行逻辑推理，从而总结出正确的结论：能正确地识别必要条件 、充分条件和充要条件；能正确地应用一些基本的论证方法
，比如数学归纳法
、反证法等。

3、运算能力

中学生的运算能力包括：准确而又快速地处理数据的能力；能熟练地运算含字母的解析式，并且能够得出既全面又准确的结论；确保算理的明确性和算法的优化性 。

4 、数学语言表达能力

中学生的数学语言表达能力包括：能正确地使用数学符号 ，简要地将数学内容概括出来
，同时，语句要完整
、连贯 ，不能混乱不清
，在论证或解答各类数学问题时，必须进行工整的书写 ，在用字或字母时要准确
，讲求数学论文的书写规范，论文中的图形要具有较强的表现力 ，另外还要注意作图规范
，图文相符
。

简而言之，学习数学其实主要也就是两大块：一块是数学基础知识的掌握 ，另一块是基本技能的掌握。

这两块都掌握好了，才能具备一定的数学能力 。

那么
，究竟是知识重要，还是技能重要呢？应该说两者是密不可分 ，互为基础的
。

因为学知识就是为了应用
，反过来，想要用好一项技能 ，前提还是要掌握知识。

最后
，送给同学们一句话：数学的“灵魂 ”是解决问题，这也是我们学习数学的主要目的 。

为了将来能成为一个善于解决各种问题的能人 ，好好学习数学吧！

（end）