六年级上册数学重点知识点：

1、分数乘法的意义。

（1）分数乘整数与整数乘法的意义相同 。都是求几个相同加数的和的简便运算。

（2）分数乘分数是求一个数的几分之几是多少
。

2 、分数乘法的计算法则。

（1）分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子 ，分母不变 。

（2）分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母
。

3、整数乘法的交换律
、结合律和分配律
，对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律: a×b=b×d

乘法结合律: a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律:a×(b+c)=ab+ac 或a×(b-c)=ab-ac

4、分数除法的意义

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数 ，求另一个因数的运算 。

分数除法的计算法则：除以一个不为0的数
，等于乘这个数的倒数
。

规律（分数除法比较大小时）：

（1）当除数大于1，商小于被除数；

（2）当除数小于1（不等于0） ，商大于被除数；

（3）当除数等于1
，商等于被除数。

小学六年级上册数学知识点大全1-7单元

小学六年级上册数学复习资料 第一单元：位置与方向

用数对表示位置 如：第三列第二行 表示为（3，2） 。一般情况下表示为（列 ，行）

第二单元：分数乘法

1 、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同
，就是求几个相同加数的和的简便运算
。 （如：75×4表示4个75是多少或75的4倍是多少。）

2
、一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少 。 （如：6×43表示6的43是多少；65×52表示65的52是多少
。）

3、分数乘法的计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（能约分的先约分）

4 、一个数乘以真分数 ，积小于这个数（如：5×21﹤5；

一个数乘以1
，积等于这个数（如：54×1﹦54）；

一个数乘以大于1的假分数，积大于这个数（如：53×45﹥53） 。

5
、乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1 ，0没有倒数
。 第三单元：分数除法

1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中的一个因数
，求另一个因数的运算。 2 、分数除法的计算法则：被除数除以除数（0除外）等于被除数乘除数的倒数 。

3
、一个数除以真分数，商大于这个数（如：4÷21﹥4）；一个数除以大于1

的假分数 ，商小于这个数 （如：3÷23﹤3）
。

4、两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中
，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项 。比

的前项除以后项所得的商 ，叫做比值
。

比值通常用分数表示
，也可以用小数或整数表示。根据分数与除法的关系，两

个数的比也可以写成分数形式 。（如：3:2也可以写成23 ，仍读作“3比2 ”）

5 、比和除法
、分数的关系：

比 前项 比号

后项 比值

除法 被除数 除号 除数 商

分数 分子 分数线 分母 分数值

6、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）
，比值不变
。

7 、“黄金比”（0.618:1）给人以一种优

美的视觉感受。许多建筑作品、艺术作品都是按“黄金比
”来设计的 。

第四单元：圆

1
、圆：圆是由一条曲线围成的封闭的平面图形
。

2、圆中心的一点叫圆心（用字母o表示）。

3 、连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（用字母r表示） 。

4
、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径（用字母d表示）。

5、一个圆里有无数条半径，长度都相等
。一个圆里有无数条直径 ，长度也都相等。

6 、在同圆或等圆中
，直径的长度是半

径的2倍 。

7
、圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴 ，圆有无数条对称轴
。我们以前学过的对称图形中，长方

形有2条对称轴
，正方形有4条对称轴，

等腰三角形有1条对称轴 ，等边三角形

有3条对称轴
，等腰梯形有1条对称轴。

8、圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率 。圆的周长总等于它的直径的π倍，等于它的半径的2π倍
。

圆的周长c=πd或 c=2πr 圆的面积s=πr2

9 、环形面积＝π（R2－r2） 外圆半径＝内圆半径＋1条环宽

外圆直径＝内圆直径＋2条环宽 10
、跑道宽×2π=跑道间的差距

11、面积相等的长方形 、正方形和圆 ，圆的周长最短
，长方形的周长最长；周长相等的长方形
、正方形和圆，圆面积最大 ，长方形面积最小。 第五单元：百分数

1、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数
，也叫百分率或百分比 。百分数表示的是两个数的倍比关系，因此不带单位名称
。 2 、一般公式： 小麦的出粉率=

小麦的重量

面粉的重量×100%

品的合格率=产品总数

合格的产品数×100%

职工的出勤率=应出勤人数

实际出勤人数×100%

花生的出油率=花生仁的重量花生油的重量×100%

达标率=学生总人数达标学生人数×100%

100%?发芽种子数发芽率试验种子总数100%?出勤人数出勤率实有人数

100%?成活的棵数成活率种植总棵数

100%?合格的数量合格率生产总数量

投球的命中率＝投球总数量投中的数量×100%

100%?售价-进价（成本）

利润率进价（成本） 100%?增长的量增长率原有量?利润售价-进价

出米率＝稻谷重量大米的重量×100%

（ 注意： 出粉率、出米率
、出油率、发芽率 、出勤率
、成活率、合格率均不大于100%。）

时间×速度=路程 工效×时间=工作总量 单产量×数量=总产量

路程÷速度=时间 工作总量÷工效=时间 总产量÷单产量=数量

路程÷时间=速度 工作总量÷时间=工效 总产量÷数量=单产量

3 、
、纳税：税收主要分为消费税、增值税 、营业税和个人所得税等几类 。缴纳

的税款叫应纳税额
。

应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

4
、在银行存款的方式有活期、整存整取 、零存整取等 。存入银行的钱叫做本

金；取款时银行多支付的钱叫做利息；

利息与本金的比值叫做利率。

利息：本金×利率×时间（国家规定 ，存款的利息要按5%的税率纳税
。）

第六单元：统计

常用的统计图有：条形统计图
、折线统

计图、扇形统计图。

常用的统计表有：单式统计表 、复式统

计表 。

条形统计图：可以清楚看出各部分数量多少
。折线统计图：不但可以清楚看出

各部分数量多少
，而且可以看出各部分数量的增减变化情况。扇形统计图：更清楚地了解各部分数量同总数之间的

关系 。

分数百分数应用题

分数、百分数应用题的一般解题方法 一
、解决分数乘法问题

1、求一个数的几分之几是多少？（单

位“1”已知）单位“1 ”×分率=分率所对应的量

2 、求一个数比单位“1
”多几分之几是多少？（单位“1”已知）单位“1 ”×（1+分率）=分率所对应的量 3
、求一个数比单位“1
”少几分之几是多少？（单位“1”已知）单位“1 ”×（1-分率）=分率所对应的量 二、解决分数除法问题

1 、已知一个数的几分之几是多少，求这个数？（单位“1
”未知）数量÷数量所对应的分率=单位“1”

2
、已知一个数比另一个数多几分之分 ，求这个数？（单位“1 ”未知）数量÷（1+分率）=单位“1
”

3、已知一个数比另一个数少几分之分，求这个数？（单位“1”未知）数量÷（1－分率）=单位“1 ” 三 、解决百分数问题

1
、求百分率的问题：一个数是另一个数的百分之几
。

另一个数一个数×100%=百分率

2、求一个数比另一个数多（少）百分之几。

相差数÷单位“1”=多（少）百分之几 对应量÷单位“1
”－1 或 1—对应量÷单位“1”

3 、求一个数的百分之几是多少 （单位“1 ”已知）单位“1
”×百分率=分率所对应的量

已知一个数的百分之几是多少
，求这个数 。 （单位“1”未知）数量÷数量所对应的百分率=单位“1 ” 4
、求比一个数多（少）百分之几的数是多少

单位“1
”×（1+百分率）=分率所对应的数量

5、已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数
。

数量÷（1+对应分率）=单位“1” 6 、折扣问题 原价×折扣=现价 7、纳税问题 收入×税率=应纳税额 8
、利息问题 本金×利率×时间=利息 利息×税率=利息税

利息—利息税=税后利息 本息=本金+税后利息

#六年级# 导语 整理了小学六年级上册数学知识点大全1-7单元 ，希望对你有帮助!

第一单元分数乘法

一、分数乘法

(一)分数乘法的意义：

1 、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算 。

例如：65×5表示求5个65的和是多少? 1/3×5表示求5个1/3的和是多少?

2
、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少
。　

例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少.

(二)、分数乘法的计算法则：

1 、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子
，分母不变 。(整数和分母约分)

2
、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时 ，要先把带分数化成假分数再进行计算
。

3、为了计算简便
，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分 ，不会约分的就不约
，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4 、小数乘分数，可以先把小数化为分数 ，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算） 。

(三)
、 乘法中比较大小的规律

一个数(0除外)乘大于1的数
，积大于这个数
。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。

一个数(0除外)乘1 ，积等于这个数 。

　(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同
。整数乘法的交换律 、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

　乘法交换律： a × b = b × a

　乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

　乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c

二
、分数乘法的解决问题(已知单位“1 ”的量(用乘法)
，即求单位“1
”的几分之几是多少)

1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量 ，注意两条线段的左边要对齐 。(2)部分和整体的关系：画一条线段图
。

2 、找单位“1”： 单位“1 ” 在分率句中分率的前面；

或在“占
”、“是”
、“比 ”“相当于”的后面。

3、写数量关系式的技巧：

(1)“的
” 相当于 “×” 
，“占 ” 、“相当于
”“是”
、“比 ”是 “ = 
”

(2)分率前是“的”字：用单位“1 ”的量×分率=具体量

例如：甲数是20，甲数的1/3是多少？列式是：20×1/3

4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少
”的关系式：

（比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量；

例如：甲数是50 ，乙数比甲数少1/2
，乙数是多少？

列式是：50×（1-1/2）

（比多）：单位“1 ”的量×(1+分率)=具体量　

例如：小红有30元钱，小明比小红多3/5 ，小红有多少钱？

列式是：50×（1+3/5）

3 、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；

4
、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几 。

5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数

6 、求已知一个部分量是总量的几分之几
，求另一个部分量的方法：

(1)
、单位“1
”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）

(2)、单位“1”的量-已知占单位“1 ”的几分之几的部分量=要求的部分量

例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）

第二单元位置与方向（二）

一 、确定物体位置的方法：1
、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3 、最后确定距离（看比例尺）

二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标 ，确定方向和路程
。

三
、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时
，观测点不同，叙述的方向正好相反 ，而度数和距离正好相等。

四 、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西 。

第三单元分数除法

三
、倒数

1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系
，它们互相依存，倒数不能单独存在
。　(要说清谁是谁的倒数)。

2 、求倒数的方法：

(1)
、求分数的倒数：交换分子分母的位置 。

(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数 ，再交换分子分母的位置
。

(3) 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数
，再求倒数。

(4)
、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数 。

3、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数 ，因为0乘任何数都得0
，(分母不能为0)

4 、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1
。

5
、运用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数 。

1、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积

除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同 ，表示已知两个因数的积和其中一个因数
，求另一个因数的运算
。

例如：1/2÷3/5意义是：已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5，求另一个因数的运算。

2 、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数 ，等于乘这个数的倒数 。

3、分数除法比较大小时的规律：

(1)当除数大于1
，商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;

(3)当除数等于1 ，商等于被除数
。

“[ ]
”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号
，又有中括号，要先算小括号里面的 ， 再算中括号里面的 。

二
、分数除法解决问题

1
，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分率=具体量

例如：公鸡有20只 ，是母鸡只数的1/3
，母鸡有多少只
。（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：X×1/3=20

(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：

即已知单位“1 ”的几分之几是多少 ，求单位“1
”的量 。

分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

例如：公鸡有20只
，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只
。（单位一是母鸡只数 ，单位一未知
，）用除法，列式是：20÷1/3

2、看分率前有没有比多或比少的问题；

分率前是“多或少 ”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1
”的量；

例如:桃树有50棵 ，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。

列式是：50÷（1-1/6）

（比多）：具体量　÷ (1+分率)= 单位“1”的量

例如:一种商品现在是80元
，比原价增加了1/7，原价多少？

列式是：80÷（1+1/7）

3 、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数 ，结果写为分数形式 。

例如:男生有20人
，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几
。

列式是：15÷20=15/20=3/4　

4
、求一个数比另一个数多几分之几的方法：

用两个数的相差量÷单位“1 ”的量 =分数

即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数） ，结果写为分数形式。

例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=2/3

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为分数形式 。

例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=2/5

说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同
。

5、工程问题：把工作总量看作单位“1
” ，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和
，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间）

例如：一项工程甲单独做要5天完成 ，乙单独做要10天完成
，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）

第四单元比

(一) 、比的意义

1
、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中 ，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项 。比的前项除以后项所得的商
，叫做比值
。

例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)

15　 ∶ 10　 ＝　 3/2

前项 比号 后项　 比值

3 、比可以表示两个相同量的关系 ，即倍数关系。例：长是宽的几倍 。

也可以表示两个不同量的比
，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间
。

4
、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式 ，也可以用分数表示。

比值：相当于商
，是一个数，可以是整数 ，分数
，也可以是小数 。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式
。

6 、　比和除法
、分数的联系：

比 前 项 比号“：” 后 项 比值

除 法 被除数 除号“÷ ” 除 数 商

分 数 分 子 分数线“—
” 分 母 分数值

7、比和除法 、分数的区别：除法是一种运算 ，分数是一个数
，比表示两个数的关系。

8、根据比与除法
、分数的关系，可以理解比的后项不能为0 。

9、体育比赛中出现两队的分是2：0等 ，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系
。

10 、求比值：用前项除以后项
，结果是写为分数（不会约分的就不约分）

例如：15∶ 10　＝15÷10＝15／10＝3/2

(二)
、比的基本性质

1、根据比 、除法
、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外) ，分数值不变 。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)
，比值不变
。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数 ，这样的比就是最简整数比。

3 、根据比的基本性质
，可以把比化成最简单的整数比 。

4.化简比：

(2)用求比值的方法
。注意： 最后结果要写成比的形式。

例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2

还可以15∶10 = 15÷10 = 3/2　最简整数比是3∶2

5
、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值 ，结果没有单位 。

6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配
。一般有两种解题法

1
，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总份数 ，再求出几份占总份数的几分之几
，最后再用总量分别乘几分之几 。

例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4 ，糖和水分别有几克？

1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的数量，水占4/5 用 25×4/5得到水的数量
。

2
，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少 ，最后分别求出几份是多少。

例如：有糖水25克
，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？

糖和水的份数一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五单元圆的认识

一、认识圆形

1 、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形 。

2
、圆心：将一张圆形纸片对折两次 ，折痕相交于圆中心的一点
，这一点叫做圆心
。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径 。一般用字母r表示
。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4 、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 。一般用字母d表示
。直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置 ，半径确定圆的大小 。

6
、在同一个圆内或等圆内
，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等 ，所有的直径都相等
。

7.在同圆或等圆内
，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2

8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折 ，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形 。折痕所在的这条直线叫做对称轴
。

9 、长方形
、正方形和圆都是对称图形
，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形 。

10、只有1条对称轴的图形有： 角 、等腰三角形
、等腰梯形、扇形 、半圆
。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆
、圆环。

11、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线 ，这条虚线两端要超出图形一点 。

二 、圆的周长

1
、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长
。用字母C表示。

2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号
，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周 ，得到圆的周长 。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）
。

发现
，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即3倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。

3 、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数 ，我们把它叫做圆周率 。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之
。

(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些
，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数 。在计算时，一般取π ≈ 3.14
。

(2)
、在判断时 ，圆周长与它直径的比值是π倍
，而不是3.14倍。　

4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd

(1) 、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示

d = C ÷π或圆的周长等于2乘圆周率乘半径 ，用字母表示C=2πr

(2)
、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的2倍，

用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）

5、在一个正方形里画一个的圆
，圆的直径等于正方形的边长 。在一个长方形里画一个的圆，圆的直径等于长方形的宽
。

6 、区分周长的一半和半圆的周长：

(1)
、周长的一半：等于圆的周长÷2

计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）

三、圆的面积

1 、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积 。 用字母S表示
。

2
、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多 ，拼成的图像越接近长方形。　长方形的长相当于圆的周长的一半
，长方形的宽相当于圆的半径 。

(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系
。

　圆的半径　 =　长方形的宽

　圆的周长的一半　 =　长方形的长

3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽

所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

即S圆 = C÷2× r＝πr × r＝πr

圆的面积公式：S圆 =πr →　 r = S 圆÷ π

4 、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示 ，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.)

S环 = πR -πr 或环形的面积公式：S环 = π(R -r )（建议用这个公式） 。

5
、一个圆
，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍
。

例如：在同一个圆里 ，半径扩大3倍
，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。

6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方 。

例如：两个圆的半径比是2∶3 ，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3
，而面积比是4∶9

7 、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π

8、当长方形 ，正方形，圆的周长相等时
，圆面积，正方形居中 ，长方形面积最小
。反之
，面积相同时，长方形的周长最长 ，正方形居中
，圆的周长最短。

9
、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　

10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r 推导过程：S=S正-S圆=d -πr=2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r

11 、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r 推导过程：S=S圆-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径 ，高是半径）

12
、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 。顶点在圆心的角叫做圆心角
。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。

13、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360

14 、扇形也是轴对称图形
，有一条对称轴 。

15
、常见半径与直径的周长和面积的结果
。

半径 半径的平方 直径 周长 面积

1 1 2 6.28 3.14

2 4 4 12.56 12.56

3 9 6 18.84 28.26

4 16 8 25.12 50.24

5 25 10 31.4 78.5

6 36 12 37.68 113.04

7 49 14 43.96 153.86

8 64 16 50.24 200.96

9 81 18 56.52 254.34

10 100 20 62.8 314

1.5 2.25 3 9.42 7.065

2.5 6.25 5 15.7 19.625

3.5 12.25 7 21.98 38.465

4.5 20.35 9 28.26 63.585

5.5 30.25 11 34.54 94.985

7.5 56.25 15 47.1 176.625

第六单元百分数

一、百分数的意义和写法

（一） 、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比 。

（二）
、百分数和分数的主要联系与区别：

联系：都可以表示两个量的倍比关系
。

区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系 ，不能表示具体的数量
，所以不能带单位;

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系 ，表示具体数时可以带单位。

② 、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;

分数的分子不能是小数
，只能是除0以外的自然数 。

3
、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示 ，读作百分之。

二、百分数和分数 、小数的互化

(一)百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足）
，同时在后面添上百分号
。

2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。

(二)百分数的和分数的互化

1
、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数 ，能约分要约成最简分数 。

2、分数化成百分数：

① 用分数的基本性质
，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式
。

②先把分数化成小数(除不尽时 ，通常保留三位小数)
，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）

(三)常见分数小数百分数之间的互化；

三 、用百分数解决问题

(一)一般应用题

1
、常见的百分率的计算方法：

一般来讲，出勤率、成活率 、合格率
、正确率能达到100% ，出米率、出油率达不到100%
，完成率 、增长了百分之几等可以超过100% 。　

2
、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式
。

例如：例如:男生有20人 ，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。

列式是：15÷20=15/20=75﹪　

3、已知单位“1 ”的量(用乘法)
，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

(1)百分率前是“的
”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量

(2百分率前是“多或少 ”的数量关系：

单位“1
”的量×(1±百分率)=百分率对应量

4 、未知单位“1”的量(用除法) ，已知单位“1 ”的百分之几是多少
，求单位“1
” 。 方法与分数的方法相同
。

解法：　(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1”的量

5
、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同 。只是结果要写为百分数形式
。看百分率前有没有比多或比少的问题；

百分率前是“多或少 ”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1
”的量；

例如:大米有50千克 ，比面粉树少50﹪
，面粉有多少千克。

列式是：50÷（1-50﹪）

（比多）：具体量　÷ (1+百分率)= 单位“1”的量

例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪ ，原计划做多少个？

列式是：110÷（1+10﹪）

6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同 。

用两个数的相差量÷单位“1 ”的量 =百分之几

即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为百分数形式。

甲比乙多几分之几的问题，方法A ，（甲-乙）÷乙 （建议用）

方法B
，甲÷乙-100﹪

例如：老师计划改40本作业，实际改了50本 ，实际比计划多改了百分之几？

列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式
。

乙比甲少几分之几的问题
，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）

方法B， 100﹪-乙÷甲

例如：张三家用了100度电 ，李四家用了90度电
，李四家比张三家少用百分之几？

（100－90）÷100=0.1=10﹪

说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。

7 、如果甲比乙多或少a﹪ ，求乙比甲少或多百分之几
，用a﹪÷（1±a﹪）

8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1
” 。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率
。

第七单元：扇形统计图

一
、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图) 。

二、常用统计图的优点：

1 、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少
。

2
、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少 ，还可以清晰看出数量的增减变化情况。

3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系 。（要在统计图上写出百分率）

三 、扇形的面积大小：在同一个圆中
，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大 ，扇形越大
。(因此扇形面积占圆面积的百分比
，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)

四
、应用：1.会观察统计图 。

2、你得到什么数学信息？

回答① 、***占总体的百分之几；

②
、**占的百分比最多，**占的百分比最少；

3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几
。

数学广角：数与形

1 、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积 ，这些算式还可以用平方数的形式来表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方 。

2
、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）。

补充内容（位置）

1、我们用数对（数对：由两个数组成
，中间用逗号隔开，用括号括起来
。括号里面的数由左至右为列数和行数 ，即“先列后行”）确定点的位置。如数对(3
，5)表示：(第三列，第五行)

竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看) ，先数列再数行 。

2 、平移时用“上 ”、“下”
、“前
”、“后” 、“左 ”
、“右
”来表述
，平移时图形的现状不变
。

3、图形左 、右平移： 行不变 ；图形上
、下平移： 列不变

补充内容（“鸡兔同笼”问题）

一、“鸡兔同笼 ”问题的特点：

题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量 ，求出各未知数的单量。

二 、“鸡兔同笼
”问题的解题方法

1
、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡；

（一般假设都是大数（脚多的）
，再求出两个脚的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数 。（我们称为设大得小 ，设小得大）

例
，有34个同学去划船，大船每船坐4人 ，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满
，问大船和小船各租了几条
。

假设法：

①假设全部是大船则坐12×4=48(人)

②那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14(人)，

③实际一条大船比一条小船多坐4-2=2(人)

④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量） ，14÷2=7（条）

⑤总的船减小的船得到大的船12-7=5（条）。(要注意单位)

2、列方程法：例有34个同学去划船
，大船每船坐4人，小船每船坐2人 ，租12条船刚好坐满
，问大船和小船各租了几条 。

解：设大船有X条，则小船有12-X条

4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人数 ，4是大船每船坐4人
，2×(12-X)是小船坐的人数，小船每船坐2人 ，有(12-X)条船
，相加就得到总人数34人
。2×(12-X)用乘法分配律计算得到24-2X.。

所以4X+2×(12-X)=34

4X+2×12-2×X=34

4X+24-2 X=34

2 X+24=34

2 X=34-24

2 X=10

X=5

12-5=7（条）

答：租大船5条，小船7条 。