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Lagrange
中值定理
的应用实在是太多太多了……比如洛比塔
法则
，Taylor展开都可以看作是它的应用 。
举个具体例子：f在[a,b]连续,
(a,b)可导,
f'(x)恒等于m,
证明f在[a,b]为
一次函数
最直接又严谨
的证
法就是用中值定理：
取定c属于(a,b),
任意x属于(a,b),
f(x)-f(c)=f'(t)(x-c)=m(x-c),
即f为一次函数。
拉格朗日中值定理应用是什么？
g(x)=e^x-ex
g(x)在[1 ，x]连续 ，在（1，x）可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)
此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0
即e^x-ex>0;e^x>ex成立
拉格朗日中值定理又称拉氏定理 ，是罗尔中值定理的推广 ，同时也是柯西中值定理的特殊情形 。如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续 ，则必有一ξ∈(a,b) ，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，拉格朗日中值定理的几何意义 。
拉格朗日中值定理应用是：一点c在连续可倒区间内 ，只要使得f（a）-f(b)=f'(c)(b-a)成立即可。推导出的f'（c）可以看出是f(x)的斜率 。
g(x)=e^x-ex
g(x)在[1 ，x]连续，在（1 ，x）可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)
运动学意义：
对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率 。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明 ，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分 。?
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