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狄利克雷函数的形式：当x为有理数时 ，D（x）=1，当x为无理数时 ，D（x）=0 。
这个函数的图形呈现出一系列的水平线段和垂直线段 ，因为对于任意给定的有理数x，D（x）=1 ，而对于无理数x ，D（x）=0 。因此，在图形上 ，狄利克雷函数的值域为0和1之间的任意实数 ，而其定义域为全体实数。
狄利克雷函数在数学分析中有着重要的应用，例如在傅里叶分析和数论等领域 。它也被用于定义一些重要的数学概念 ，如狄利克雷核和狄利克雷级数等 。此外 ，狄利克雷函数在复分析中也具有一定的应用，如在定义狄利克雷型和狄利克雷积分的计算中。
狄利克雷函数并不是一个连续函数，因为它的定义域是离散的 ，只在有理数和无理数这些离散点上定义了函数值 。在图形上 ，狄利克雷函数的图像呈现出离散的线段和间断点 。图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数 ，它处处不连续 ，处处极限不存在，不可黎曼积分。
狄利克雷函数的应用领域：
1、傅里叶分析：在傅里叶分析中 ，狄利克雷函数常常被用来研究函数的傅里叶级数展开 。具体来说 ，如果一个函数可以展开成无数个正弦和余弦函数的加总，那么这个展开式就称为该函数的傅里叶级数 。而狄利克雷函数由于其特殊的性质 ，可以用来判断一个函数是否可以进行傅里叶展开。
2、数论：在数论中 ，狄利克雷函数常常被用来研究一些特殊的集合，例如有理数集和无理数集 。通过对狄利克雷函数的研究 ，可以更好地理解有理数和无理数的性质 ，从而推进数论的研究 。
3 、解析数论：解析数论是研究数论函数在复平面上的解析性质的一个分支领域。狄利克雷函数的解析性质为解析数论提供了重要的工具。例如，利用狄利克雷函数可以证明一些数论中的重要猜想 。比如黎曼猜想中的非平凡零点都位于复平面的临界线上，这是一个数论领域的重要猜想 。
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