泰勒公式里的o是无穷小的代表，不需要计算 。

o[(x-x0)^n]表示比(x-x0)^n更高阶的无穷小量
。这种带皮亚诺余项的泰勒公式 ，通常用来求极限
，在求极限中忽略比较高阶的无穷小量，关键在于多少阶的无穷小可以忽略 ，这是因题而异的。

泰勒公式
，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式 。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数
。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒 ，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容 。

简介

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项
，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同
。一般来说 ，当不需要定量讨论余项时
，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a ，b）有直到n+1阶的导数
，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间 ，该余项称为拉格朗日型的余项 。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数
，不是f(n)与x.的相乘
。）

证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0 ，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0 、A1
、A2、…… 、An 。显然
，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!
。至此，多项的各项系数都已求出 ，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.

接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0 。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0
。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数
，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x) 。综上可得 ，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)
。一般来说展开函数时都是为了计算的需要
，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a ，b）有直到n+1阶的导数
，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1 。

证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式 ，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)

由于ξ在0到x之间
，故可写作θx，0<θ<1。

麦克劳林展开式的应用：

1
、展开三角函数y=sinx和y=cosx
。

解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……

于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0 ，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了 。）

类似地
，可以展开y=cosx
。

2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818 。

3 、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方 ，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的
。过程具体不写了
，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性 ，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起
，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式 。然后让sinx乘上提出的i ，即可导出欧拉公式
。有兴趣的话可自行证明一下。

编辑本段泰勒展开式

e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.

计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.

若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得

以 x=1 代入上式得

此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是

将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由

透过这个级数的计算,可得

由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,

另方面,

所以,

我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.

甲)差分.

考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为

以后我们干脆就把 简记为

(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...

注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.

差分算子的性质

(i) [合称线性]

(ii) (常数) [差分方程根本定理]

(iii)

其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.

(iv) 叫做自然等比数列.

(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)

(乙).和分

给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果:

定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则

和分也具有线性的性质:

甲)微分

给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即

若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子.

微分算子的性质:

(i) [合称线性]

(ii) (常数) [差分方程根本定理]

(iii) Dxn=nxn-1

(iv) Dex=ex

(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为

(乙)积分.

设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割:

;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0).

若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积.

(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)

积分算子也具有线性的性质:

定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)

定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则

注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!

上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.

我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.

甲)Taylor展开公式

这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清

两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.

(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是

此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.

g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.

值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.

利用 Talor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.

复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.

当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)

注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.

(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:

给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:

答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.

乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推

(一) 分部积分公式:

设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则

(二) Abel分部和分公式:

设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则

上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.

(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)

(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)

根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.

(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为

令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert

换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.

由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.

(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)

(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有

(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则

当然,变数再多几个也都一样.

(己)Lebesgue 积分的概念

(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.

(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.

Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割:

函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和

让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.

泰勒公式的余项

泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：

1.佩亚诺余项；

2.施勒米尔希-罗什余项；

3.拉格朗日余项；

4.柯西余项；

5.积分余项 。

泰勒简介

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）
， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生
。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员 ，并于两年后获法学博士学位 。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书
，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程
。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》 ，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量
， 及 为流数 。他假定z随时间均匀变化，则 为常数
。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的 ，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性
，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性 ，因而使证明不严谨
， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成 。

泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 
。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用 ，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式
，开创了研究弦振问题之先 河 。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作 ，如论述常微分方程的奇异解
，曲率 问题之研究等
。

1715年，他出版了另一名著《线性透 视论》 ，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系
，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响 。另外 ，还撰有哲学遗作，发表于1793年
。